公司部门在运营过程中需要承担各种法律责任，包括但不限于以下几个方面：

1. 劳动法律责任

公司部门在雇佣员工时必须遵守劳动法律法规，包括签订合同、支付工资、提供工作环境和保障员工权益等。如果公司部门违反劳动法规，可能会面临劳动争议、劳动仲裁甚至法律诉讼的风险，需要承担相应的法律责任。

2. 知识产权法律责任

在公司部门的日常经营中，涉及到产品设计、营销推广等方面时需要注意保护知识产权，包括专利、商标、著作权等。公司部门未经授权使用他人知识产权可能会导致知识产权侵权纠纷，面临相应的法律责任与赔偿责任。

3. 税务法律责任

公司部门需要遵守税务法规，及时足额缴纳税款并如实申报财务状况。若公司部门存在逃税、偷税等行为将被税务部门追究责任，涉及税务罚款、滞纳金甚至刑事责任。

4. 合同法律责任

公司部门在与其他公司或个人签订合同时需要遵守合同法律法规，履行合同约定的义务。如果公司部门违反合同约定，可能引发合同纠纷，需要承担违约责任并承担相应的赔偿责任。

5. 竞争法律责任

在市场经济环境下，公司部门需要遵守竞争法规，不得进行垄断、串通价格等违法行为。一旦公司部门存在违反竞争法规的行为，将面临反垄断调查、处罚甚至被强制解散的法律责任。

总而言之，作为公司部门的领导和管理者，需要深入了解各项法律法规，建立健全的内部法律合规体系，加强员工法律意识培训，及时纠正经营中存在的法律风险，规避法律责任，确保公司部门合法合规经营。